3.september 1975 bol pre našu školu slávnostný. I. ZDŠ sa presťahovala z Jilemnického ul. č. 2 do nových priestorov na sídlisko SNP II. Stará budova v centre mesta pri mestskej veži bola daná k dispozícii ĽŠU, ktorá v týchto priestororch sídli dodnes. Vyučovanie na novej 22 triednej škole začalo i vďaka brígadnickej pomoci rodičov, pedagogických i nepedagogických pracovníkov. V tejto dobe sa upravila povinná rajonizácia. Vznikol úplne nový územný obvod, ktorý zahrňoval: sídlisko SNP II , 13 okolitých ulíc, Biely Kostol, Pažitná-mlyn, Štrky. Z tohoto obvodu nastúpilo do školy 866 žiakov, ktorí boli zaradení do 30. tried, z toho 20 na prvom stupni a 10 na druhom stupni. Riaditeľom školy bol pán Ján Plech. Pod jeho vedení pracovalo 55 pedagogických a 19 nepedagogických pracovníkov. Školská jedáleň začala prevádzku 15.10. 1975 s počtom 450 stravníkov.

V šk. roku 1976/77 mala škola už 34 tried s počtom žiakov 1008. V šk. roku 1980/81 navštevovalo školu najviac žiakov v jej histórii - 1095.

Od šk.roka 1977/78 sa novou riaditeľkou školy na nasledujúcich 13 rokov stáva pani Anna Vidová. V auguste 1982 boli do užívania odovzdané asfaltové ihriská. Od januára 1990 bola riaditeľkou školy pani Matilda Mosná.V apríli 1991 je zriadený nový iniciatívny,poradný, kontrolný,samosprávny orgán - Rada školy.

Od šk. roku 1992/93 bola na škole zriadená aj špeciálna vyrovnávacia trieda, ktorú navštevovali žiaci so špecifickými poruchami učenia.Na škole sa vykonali potrebné stavebné úpravy, aby sa mohla uskutočňovať potrebná integrácia zdravotne postihnutých žiakov.

1.9.1997 MZ a MŠ SR udelilo škole certifikát o prijatí školy do "Národnej siete škôl podporujúcich zdravie v SR." Od tejto doby v našej práci intenzivnejšie plníme ciele projektu "Zdravá škola - Škola podporujúca zdravie." Realizácia projektu má naučiť naše deti zdravo žiť. Dôležitú úlohu v projekte plnia PEER skupiny, ktoré tvoria žiaci vyšších ročníkov. Dňa 1.1. 1998 OÚ v Trnave zriadil našu ZŠ ako samostatnú rozpočtovú organizáciu s právnou subjektivitou. Od 1.7. 2002 prešla zriaďovateľská funkcia z OÚ na mesto Trnava.

Od roku 2002 je škola zapojená do projektu Infovek. Zriadila sa učebňa IKT s prístupom na internet. 6.8.2004 vzniklo OZ Kubináci - OZ rodičov a priateľov detí so zdravotným postihnutím.

Od 1.9. 2008 sa výchovno-vzdelávací proces realizuje podľa Školského vzdelávacieho programu pre 1.stupeň ZŠ - ISCED 1 (začínajúc 1. ročníkom) a pre 2. stupeň ZŠ - ISCED 2 (začínajúc 5. ročníkom). Od 1.9. 2009 sa realizuje ŠkVP ISCED 1 pre žiakov s NKS (začínajúc prípravným ročníkom) a ISCED 2 pre žiakov s VPU (začínajúc 5. ročníkom).

Mottom ŠkVP je : " Šanca pre všetkých, vo všetkom a vždy."

Od I. I. 2013 vzniká nový právny subjekt: ZŠ s MŠ, A. Kubinu 34, Trnava - spojením ZŠ, A. Kubinu 34, Trnava a MŠ, Ružindolská 8 Trnava. V roku 2014 sa časť budovy Základnej školy upravila pre potreby materskej školy, kde sa od 1.1.2015 zriadili 2 triedy materskej školy.